Anleitung zum Simulator und Details zum Modell

Kurzanleitung

Der Simulator berechnet die Entwicklung der Epidemie für vorgegebene Eingabeparameter. Die Voreinstellungen für diese Parameter entsprechen der momentan besten Schätzung für Österreich (für drei unterschiedliche Annahmen zur Saisonalität). Für einige wichtige Parameter sind allerdings nur sehr grobe Schätzungen möglich. Die Ergebnisse sind daher mit einer erheblichen Unsicherheit behaftet. Sie sind eingeladen, die Eingabeparameter zu ändern und ihr eigenes Szenario zu erstellen.

Verwendung: Parameterwerte wählen und auf den "BERECHNEN"-Button über dem Ausbruchsdynamik-Graphen klicken.

Kurze Beschreibung der Graphen (mehr Details weiter unten):

Ausbruchsdynamik: Für jede der farblich kodierten Kategorien zeigen Punkte (●) die realen österreichischen Daten und Linien die Berechnungen aus dem Modell. Kategorien können durch Klick auf den Legendeneintrag ein- oder ausgeblendet werden.

Effektive Reproduktionszahl Reff: Die effektive Reproduktionszahl ist in rotbraun zu sehen. Sie ist niedriger als die Basisreproduktionszahl R0 (zuoberst, schwarz gestrichelt). Die Effekte die dazu beitragen sind Herdenimmunität, Saisonalität und gesetzte Maßnahmen.

Genesene Population (%): Mit einem wachsenden genesenen Anteil der Population steigt die Herdenimmunität. Vollständige Herdenimmunität wird erreicht bevor 100% der Population die Krankheit durchgemacht hat.


Details zum Modell

Forschungsgruppen weltweit verwenden für die Modellierung von COVID-19 Varianten des sogenannten SIR (Susceptible - Infectious - Removed) Modells. Die interpretation der Simulationsergebnisse derartiger Modelle ist recht komplex — auf keinen Fall sollten sie als quantitative Vorhersagen über die Zukunft verstanden werden. Tatsächlich liegt das vorrangige Ziel der Modellsimulationen auf qualitativer Ebene: In der Darstellung einer Bandbreite von Szenarien und der Diskussion von wesentlichen Parametern.

Aufbauend auf ähnlichen Projekten (z.B. an der Universität Basel), haben wir speziell für Österreich ein erweitertes SEIR (Susceptible - Exposed - Infectious - Removed) Modell konzipiert und stellen es als Simulationstool zur Verfügung. Unser Ziel ist es, zu einem besseren Verständnis der COVID-19-Epidemie in Österreich beizutragen und einen Einblick in die Möglichkeiten und Grenzen der vorgestellten Modellklasse zu geben.

Hintergrundwissen zu epidemiologischen Kompartimentmodellen (SIR / SEIR)

Epidemiologische Kompartimentmodelle (Wikipedia) wie dieses hier versuchen, die der Ausbreitung einer Krankheit zugrundeliegende Dynamik mathematisch zu beschreiben, indem sie die Gesamtpopulation in mehrere sogenannte Kompartimente aufteilen. Im einfachsten Modell aus dieser Gruppe, dem SIR Modell, sind dies zum Beispiel die Kompartimente "Anfällige" (engl. Susceptible), "Infektiöse" und "Personen, die nicht mehr am Infektionsgeschehen teilnehmen" (engl. Removed). "Anfällige" sind jene, die die Krankheit noch nicht gehabt haben und sich anstecken können. "Infektiöse" sind aktuell Kranke, die andere anstecken können, und im "Removed" Kompartiment werden alle zusammengefasst, die weder ansteckend sind, noch sich anstecken können. Im einfachsten Fall sind das Personen die die Krankheit bereits durchgemacht haben und nun immun sind.

Die Grundstruktur des SIR-Modells lässt sich durch das folgende Diagramm beschreiben:

S susceptible I infectious R removed

In diesem Diagramm stehen die Kästchen für Kompartimente und durchgezogene Pfeile zeigen an, wie Personen im Laufe der Erkrankung von einem Kompartiment ins nächste wandern. Ganz wesentlich für den Verlauf der Epidemie sind die sogenannten "Übergangsraten", die beschreiben wie viele Personen in einem fixen Zeitraum von einem Kompartiment zum nächsten übergehen. Diese Übergangsraten hängen von der Anzahl der Personen in den Kompartimenten ab, und davon, wie lange es dauert bis ein solcher Übergang stattfindet. (In komplexeren Modellen, in denen mehrere verschiedene Übergänge möglich sind — wenn zum Beispiel das "Removed" Kompartiment in "Gesundete" und "Verstorbene" aufgeteilt wäre — fließen in die Übergangsraten auch die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen möglichen Ausgänge ein.) Der gestrichelte Pfeil steht für die Interaktion zwischen der Größe des I-Kompartiments und der Übergangsrate von S nach I: je mehr Infektiöse es gibt, umso leichter passiert eine Ansteckung, und umso höher ist die Übergangsrate.

Ausgehend von einer Modellbeschreibung wie der obigen lassen sich nun Lösungen für das dazugehörige mathematische Modell finden, die den Verlauf der modellierten Epidemie in Abhängigkeit von den Übergangsraten beschreiben.

Unser Modell

Aufgrund der Besonderheiten von COVID-19 ist die Struktur des Kompartimentmodells, das im Simulator verwendet wird, etwas komplexer als das oben als Beispiel gebrachte SIR-Modell. Das folgende Diagramm beschreibt den Aufbau unseres Modells:

Flow chart of our extended SEIR model

Grafische Darstellung des erweiterten SEIR Modells. Die durchgezogenen Pfeile stehen für Übergänge, strichlierte Linien zeigen Interaktionen. Dunkel hinterlegte Kompartimente sind bekannte Fälle. Ein dicke Umrandung markiert "Senken" — Kompartimente, zu denen es nur eingehende Pfeile gibt.

Das Modell hat folgende Kompartimente:

Das "Removed” Kompartiment wurde in die folgenden Untergruppen unterteilt:

Besonderheiten unseres Modells:

Altersstruktur: Der Verlauf von COVID-19 ist stark vom Alter eines Menschen abhängig. Jedes Kompartiment ist deshalb in neun Altersklassen unterteilt (0-9, 10-19, ..., 80+; markiert durch Index α).

Intensivkapazität: Die Zahl der Intensivbetten ist begrenzt. Wenn sie ausgeschöpft ist, steht die notwendige medizinische Versorgung nicht mehr für alle Erkrankten zur Verfügung. Das Modell berücksichtigt, dass dies auf den Verlauf der Krankheit Auswirkungen hat und die Sterberate erhöht.

Fokus auf Österreich: Unser Modell beschreibt den Ausbruch von COVID-19 hier in Österreich. Unser Hauptaugenmerk lag darauf, wesentliche Parameter speziell für Österreich zu optimieren - unter Berücksichtigung von internationalen Daten und Modellen.

Ausführliche Dokumentation

Eine für wissenschaftliches Publikum geschriebene, tiefergehende Dokumentation unseres Modells auf Englisch finden sie hier. (PDF, öffnet in neuem Fenster/Tab.)


Eingabeparameter

In diesem Abschnitt beschreiben wir im Detail die im Simulator einstellbaren Eingabeparameter, und ihre Bedeutung.

Vordefinierte Szenarien: Best-fit

Mit den Buttons hier können Sie schnell alle Parameter auf unsere aktuell beste Schätzung für Österreich einstellen. Diese hängt von der angenommenen Saisonalität ab, die sich kaum aus den Daten schätzen lässt und deshalb hier wählbar ist.

Reproduktionszahl-Parameter

Die effektive Reproduktionszahl Reff(t) ist die durchschnittliche Anzahl an sekundären Infektionen, die durch eine infizierte Person ausgelöst werden. Sie ändert sich, und hängt somit vom Zeitpunkt t ab. Sie ist die für den weiteren Verlauf der Epidemie maßgeblichste Größe. Wenn Reff(t) > 1, dann wächst die Zahl der ansteckenden Personen, wenn Reff < 1, dann sinkt sie. Reff(t) hängt von der Basisreproduktionszahl R0 ab, und von Effekten, die diese reduzieren.

In unserem Modell haben vier Faktoren einen Einfluss auf Reff(t). Drei davon sind im Simulator regelbar.

Basisreproduktionszahl R0: Die Basisreproduktionszahl R0 ist die mittlere Anzahl an Sekundärinfektionen, die zu Beginn der Epidemie von einer infizierten Person verursacht wird, wenn andere Personen noch nicht immun sind. Außerdem wird angenommen, dass die Übertragung des Virus weder durch saisonale Effekte (niedrigere Ansteckung im Sommer), noch durch aktive Maßnahmen der Gesellschaft (z.B. erhöhte Hygiene, Kontaktreduktion, Mundnasenschutz, etc.) reduziert wird. Folglich ist R0 auch der Maximalwert von Reff.

Reduktion von R0 aufgrund von Saisonalität: Bekannterweise gibt es bei vielen menschlichen Coronaviren im Winter höhere Übertragungsraten als im Sommer. In der Formel weiter unten wird diese Saisonalität durch den mittleren Term berücksichtigt, und durch den Parameter gesteuert. Dieser Parameter gibt in unserem Modell die Stärke solcher saisonalen Effekte an (beschrieben durch die maximale prozentuelle Reduktion der Reproduktionszahl aufgrund von Saisonalität). Eine Einstellung von 0% bedeutet keine jahreszeitbedingte Schwankung der Übertragungsrate. Die maximale Übertragungsrate des Virus tritt in unserem Modell am 15. Jänner auf — das führt zu einer maximalen Reduktion der Übertragungrate Mitte Juli (jeweils ohne Berücksichtigung der anderen Effekte).

Reduktion von R0 durch Maßnahmen: Maßnahmen zur Eindämmung der Epidemie seitens der Regierung oder Verhaltensänderungen in der Gesellschaft werden im Modell durch eine Treppenfunktion M(t) dargestellt. Jede Stufe dieser Funktion wird durch zwei Werte festgelegt: das Startdatum t und die neue Maßnahmenstärke M(t). Im Modell können bis zu sechs Stufen festgelegt werden, an denen die Stärke der Maßnahmen M(t) entweder steigt oder fällt. Zu jedem Zeitpunkt ist nur eine Maßnahme aktiv: Maßnahmen sind nicht kumulativ, sondern ersetzen einander.

Der vierte Faktor, der zu einer Reduktion von Reff führt, ist Immunität in der Bevölkerung. Dieser Faktor, S(t)/N, ergibt sich rein aus der Ausbruchsdynamik. Solange es keine Impfung gibt (wie hier angenommen), lässt er sich nicht extern beeinflussen.

Der Einfluss all dieser Faktoren auf Reff lässt sich durch die folgende Formel präzise fassen:

Die Formel zeigt die Abhängigkeit von von der Basisreproduktionszahl , von der Maßnahmen-Treppenfunktion , von der jahreszeitabhängigen Komponente (beschrieben durch eine verschobene Kosinusfunktion mit maximalem Effekt ) und von Immunität in der Bevölkerung, beschrieben durch den Faktor . Letzteres ist der Anteil der Anfälligen (Susceptible) in der Gesamtbevölkerung der Größe .

Parameter für den Krankheitsverlauf

Die effektive Reproduktionszahl Reff(t) zeigt an ob eine Epidemie wächst oder schrumpft, aber sie sagt nichts über den Krankheitsverlauf der Patienten aus: Wie lange dauert es bis zur Genesung? Steht am Ende Genesung oder Tod? Diese Aspekte werden durch einen eigenen Satz an Parametern bestimmt, wie z.B. die Wahrscheinlichkeit intensivmedizinische Betreuung zu benötigen oder die erwartete Aufenthaltsdauer im Krankenhaus. Für COVID-19 hängen viele dieser Parameter vom Alter der Patienten ab.

Mortalität und Detektionsrate

Infektionssterblichkeit (IFR): Die Infektionssterblichkeit (IFR, infection fatality ratio) gibt an mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Infizierter an der Krankheit stirbt. Die IFR für COVID-19 hängt vom Alter (und anderen Faktoren) ab. Wir können aber auch eine durchschnittliche IFR für Österreich definieren, die im Modell als externer Parameter adjustierbar ist. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die IFR zeitlich konstant ist.

Anteil der detektierten Infektionen: Die Detektionsrate (δ) (Nachweisrate) gibt die — ebenfalls über alle Altersklassen gemittelte — Wahrscheinlichkeit an, dass ein Infizierter diagnostiziert und offiziell erfasst wird. Wir wissen, dass bei COVID-19 viele Infizierte nicht offiziell registriert werden, insbesondere bei leichten und asymptomatischen Verläufen (dies ist die sogenannte Dunkelziffer). Wir haben eine zeitabhängige Nachweisrate δ(t) in das Modell aufgenommen, da es klare Hinweise für eine Erhöhung gibt, weil der Anteil der positiven PCR-Tests unter allen Tests von >15% in der Anfangszeit der Epidemie auf <1% im Spätfrühling und Sommer gesunken ist. Ließe man die Nachweisrate konstant, würde Reff überschätzt werden, da eine erhöhte Detektion nicht mehr für mehr Fälle verantworlich gemacht werden kann.

Die Detektionsrate ermöglicht einen Vergleich der Simulation mit der Realität. Zum Beispiel für das "Genesen"-Kompartiment zeigt der Ausbruchsdynamik-Graph sowohl "wahre" Anzahl an Fällen in der Simulation, als auch die "bekannte" Anzahl an Fällen in der Simulation. Für die "Alle bekannten Fälle"-Kategorie werden nur die "bekannten" Fälle angezeigt. Die realen österreichischen Falldaten können sinnvollerweise nur mit den "bekannten" Fallzahlen aus der Simulation verglichen werden, nicht mit den "wahren" Falldaten aus der Simulation.

Anfängliche Fallzahl: Dies ist die angenommene "wahre" Anzahl an Fällen zu Beginn der Simulation.

Die realen Werte dieser drei Parameter, der Infektionssterblichkeit, der Detektionsrate und der anfänglichen Fallzahl sind im Prinzip unbekannt. Die Infektionssterblichkeit lässt sich noch am ehesten aus einer Zufallsstichprobe schätzen (d.h. wenn die Teilnahme an der Stichprobe unabhängig von Symptomen, vorausgegangenen Reisen, etc. ist). Typischerweise sind das Daten aus Studien, wo ein gesamtes Kreuzfahrtschiff, ein Flugzeugträger oder ein ganzes Dorf getestet und dann weiter beobachtet wurde.

Detektierte Infektionen und anfängliche Fälle an Infektionssterblichkeit anpassen, um den Fit an die Daten zu erhalten: Wenn Sie hier ein Häkchen setzen, lässt sich nur die Infektionssterblichkeit verändern. Die zwei anderen Parameter werden aus der Infektionssterblichkeit so berechnet, dass diese weiterhin zu den beobachteten Daten in Österreich passen. Im Detail:

Wenn wir unser Modell an die realen Falldaten aus Österreich fitten wollen, dann legt jeder der Parameter in diesem Abschnitt die anderen beiden fest. Gehen wir zum Beispiel von einer Infektionssterblichkeit von 1% aus. Da die Anzahl der Todesfälle bekannt ist, impliziert unsere Annahme über die Infektionssterblichkeit eine Annahme über die Anzahl der Infizierten — und zwar muss es 100 mal so viele Infizierte wie Todesfälle gegeben haben. Da wir die reale Anzahl der detektierten Fälle kennen, ergibt sich aus der Annahme über die Anzahl der Infizierten der Wert der Detektionsrate. Auch die Anzahl der anfänglichen Fälle haben wir bereits festgelegt — dies ist ja einfach die oben festgelegte Anzahl der Infizierten zum "Zeitpunkt 0".

Krankheitsverlauf

Im simulierten Modell verbringen Patienten nachdem eine Infektion stattgefunden hat in jedem Kompartiment, in dem sie landen, eine zufallsabhängige Anzahl an Tagen. Die Parameter hier legen die durchschnittliche Anzahl an Tagen in den jeweiligen Kompartimenten fest.

Latenzzeit (Tage): Die Latenzzeit misst die durchschnittliche Zeit im "Exponiert"-Kompartiment, d.h. die durchschnittliche Anzahl an Tagen während derer eine neu infizierte Person selbst noch nicht infektiös (ansteckend) ist.

Infektiös (Tage): Das ist die durchschnittliche Zeitdauer während der eine infizierte Person ansteckend ist und das Virus weiterverbreiten kann. Die Summe der Latenzzeit und der infektiösen Zeit ergibt das sogenannte Generationsintervall, die Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Infektionen in einer Infektionskette.

Hospitalisiert (Tage): Durchschnittliche Aufenthaltszeit von Patienten im Krankenhaus.

Intensiv (Tage): Durchschnittliche Aufenthaltszeit von Patienten auf der Intensivstation.

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die mittleren Aufenthaltszeiten unabhängig vom Alter sind. Im Unterschied dazu sind die Wahrscheinlichkeiten, hospitalisiert oder in die Intensivstation überstellt zu werden, wie auch die Sterblichkeiten explizit altersabhängig. (Diese Übergangswahrscheinlichkeiten sind in der derzeitigen Version noch nicht verstellbar.)

Intensivkapazität (Betten): Anzahl der verfügbaren Betten auf Intensivstationen für COVID-19-Patienten.

Überlastungsparameter: Erhöhung der Sterblichkeit, wenn Patienten mit Bedarf nach Behandlung auf einer Intesivstation nicht adäquat behandelt werden können, d.h. wenn alle Intensivstationsbetten belegt sind. Ein Überlastungsparameterwert von 2 bedeutet zum Beispiel, dass die Sterblichkeit für Patienten, die keine Behandlung auf einer Intensivstation bekommen, obwohl sie sie brauchen würden, doppelt so hoch ist wie für Patienten, die adäquat behandelt werden können.


Simulationsergebnisse — Graphen

Ausbruchdynamik

Der erste Graph zeigt die Fallzahlen der verschiedenen Modell-Kompartimente als Funktion der Zeit (Zahl der infektiösen Personen, hospitalisierte Patienten, Patienten mit Intensivbedarf, etc.) sowie zwei kumulative Statistiken: alle bekannten Infektionsfälle und alle bekannten COVID-19 Todesfälle. Die Linien zeigen die Simulationsresultate und die Punkte (●) die realen Falldaten aus Österreich (letztere nur für die Kategorien "Alle bekannten Fälle", "Hospitalisiert", "Intensiv" und "Verstorben").

Effektive Reproduktionszahl

Der zweite Ausgabegraph zeigt die Änderung in der effektiven Reproduktionszahl Reff(t) im Verlauf der Epidemie (rote Linie). Zudem werden die einzelnen Faktoren, die zu Reff(t) beitragen, im Graph dargestellt; siehe auch den Abschnitt zu Reproduktionszahl-Parametern weiter oben.

Beitrag zur Herdenimmunität: Genesene Population

Der unterste der drei Graphen zeigt den Prozentsatz der Gesamtbevölkerung, der bereits immun ist, weil sie die Krankheit bereits durchgemacht haben.

Dabei wird angenommen, dass alle Genesenen dauerhaft immun sind. Mehr zu Herdenimmunität könne Sie auch unter Szenarien lesen.


Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Ich habe die Eingapeparameter verändert, aber die Graphen verändern sich nicht!

Bitte verwenden Sie den "BERECHNEN"-Button über den Graphen um die Simulation zu starten. Nicht alle Parameteränderungen führen zu sichtbaren Änderungen der Ergebnisse. (Zum Beispiel Verändern der Infektionssterblichkeit, wenn die Einstellung "Detektierte Infektionen und anfängliche Fälle an Infektionssterblichkeit anpassen, um den Fit an die Daten zu erhalten." aktiviert ist.)

Woher kommen die österreichischen Daten?

Für die österreichischen Falldaten verwenden wir die öffentlich zugänglichen Daten des österreichischen Gesundheitsministeriums.

Wie werden die Standardeinstellungen der Eingabeparameter für die "Best-fit Szenarien" gewählt?

Dies ist vom Parameter abhängig. Wir verweisen auf unsere detaillierte Beschreibung in der Dokumentation (EN) . Kurz gesagt verwenden wir, soweit verfügbar, österreichische Daten. Ergänzend greifen wir auf internationale Daten zurück. Zudem schätzen wir Modellparameter über den Fit der Ausgabedaten an empirischen Falldaten aus Österreich. Letzteres ist vor allem für die Reproduktionszahl und die Parametrisierung der Eindämmungsmaßnahmen relevant.

Manche Modellparameter sind generell nicht genau bekannt - auch wenn alle weltweit erhältlichen Daten einfließen. Das prominenteste Beispiel dafür ist die Infektionssterblichkeit (IFR) und die eng verwandte Detektionsrate (“Dunkelziffer”). Wir verwenden derzeit eine Standardeinstellung von 0.7% für die IFR, aber IFR-Werte zwischen 0.3% und 1.1% scheinen noch realistisch möglich zu sein. Die Standardeinstellungen für die Detektionsrate sind 15% (zu Beginn) und 47% (aktuell). Zwischen 1.4. und 18.5. ändert sich die Detektionsrate linear (in diesem Zeitraum wurden die Testungen in Österreich intensiviert). Im Gegensatz zu den jeweiligen Detektionsraten können die Zeitpunkte derzeit nicht im Simulator geändert werden.

Ist das SEIR Kompartimentmodell nicht ein sehr vereinfachtes epidemiologisches Modell?

Das ist es definitiv! Das Modell verwendet mehrere vereinfachende Annahmen, die in der Realität nicht gelten. Insbesondere ignoriert es alle Unterschiede zwischen Individuen, die zum selben Kompartiment gehören. Diese Vereinfachungen haben Vor- und Nachteile. Die Stärke von SEIR-Modellen ist es, dass sie besser als andere Modelle einen breiten Überblick über epidemiologische Szenarien geben. Aufgrund ihrer einfachen Struktur eignen sie sich aber nicht für detaillierte quantitative Vorhersagen. Siehe dazu auch unsere ausführliche Diskussion auf der Seite Nutzen & Grenzen des Modells.

Was passiert wenn sich das Virus an den Menschen anpasst?

Auch wenn Coronaviren weniger variabel sind als Grippeviren, ist es durchaus zu erwarten, dass sich SARS-CoV-2 an den Menschen als neuen Wirt anpasst. Ob dies bereits geschehen ist, ist nicht klar: es gibt keine schlüssigen Belege. Anpassung würde bedeuten, dass das Virus seine Übertragbarkeit vergrößert und besser mit dem menschlichen Immunsystem zurechtkommt. Auf der Letalität (der IFR) liegt dagegen kein direkter Selektionsdruck. Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass das Virus mehr oder weniger tödlicher werden sollte, es sei denn dies verändert auch die Übertragbarkeit.

Welche Software wurde für das Modell und diese Webseite verwendet?

Die Modelle sind wurden mit Python und SciPy gebaut. Die Webseite verwendet das Plotly Dash Framework und den "static site generator" Lektor.